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Modèle SulfacoESA3d — Attaque Sulfatique Externe avec Endommagement Mécanique 3D

Fichiers sources : src/Models/ModelFiles/SulfacoESA3d.c · base/SulfacoESA3d/SulfacoESA3d · base/SulfacoESA3d/test-ESA-Ferraris-D25_3d/D25

Auteurs du modèle : Ran, Dangla (Université Gustave Eiffel) Titre interne : "External sulfate attack of concrete (2023)"

Table des matières

  1. Contexte et objectif
  2. Différences clés avec Sulfaco
  3. Hypothèses
  4. Variables et notation
  5. Modèle mathématique
  6. 5.1 Équations de conservation chimique
  7. 5.2 Équilibre mécanique et couplage chemo-mécanique
  8. 5.3 Loi d'endommagement (Marigo-Jirasek ou Mazars)
  9. 5.4 Pression de cristallisation et eigenstrain chimique
  10. 5.5 Transport ionique (Nernst-Planck)
  11. Conditions aux limites et initiales
  12. Cas tests
  13. 7.1 Point matériau homogène (SulfacoESA3d)
  14. 7.2 Référence Ma30 — Calibrage Sulfaco
  15. 7.3 Validation Ferraris D25 (test-ESA-Ferraris-D25_3d/D25)
  16. Paramétrage matériel du modèle
  17. Description pas-à-pas des fichiers d'entrée
  18. Références bibliographiques

1. Contexte et objectif

Le modèle SulfacoESA3d est une extension du modèle Sulfaco qui ajoute un couplage chemo-mécanique complet en 3D. Il simule l'attaque sulfatique externe (ESA — External Sulfate Attack) du béton en combinant :

  • La chimie multi-espèces de la solution de pores (héritée de Sulfaco) : diffusion ionique, équilibres acido-basiques, précipitation/dissolution des phases solides (AFt, CH, AFm, C₃AH₆…),
  • La mécanique de l'endommagement en 3D (tenseur des contraintes et des déformations complet) via des éléments finis FEM.h,
  • La pression de cristallisation de l'ettringite appliquée comme eigenstress au squelette solide, déclenchant l'endommagement dès que la traction locale dépasse la résistance à la traction \(f_t\).

Par rapport à Sulfaco (qui calculait un scalaire de déformation libre avec une loi d'endommagement simplifiée exponentielle), SulfacoESA3d utilise le module Damage.h de BIL, permettant d'appliquer des modèles d'endommagement formulés thermodynamiquement (Mazars, Marigo-Jirasek).

graph TD
    A["Ions SO₄²⁻ imposés<br>en surface (ESA)"] --> B("Diffusion Nernst-Planck<br>+ chimie de solution")
    B -->|Sursaturation AFt| C["Précipitation ettringite<br>en pore confiné"]
    C --> D["Pression de cristallisation P_c<br>= RT/V_AFt · ln(β)"]
    D -->|Eigenstrain chimique<br>ε_ch = b·P_c/K_bulk| E["FEM: Équilibre mécanique<br>Div(σ) = 0"]
    E --> F["Contraintes σ, déformations ε"]
    F -->|Critère d'endommagement<br>κ > κ_0| G["Endommagement D<br>(Marigo-Jirasek ou Mazars)"]
    G -->|Réduction de rigidité<br>C_ijkl → (1-D)·C_ijkl⁰| E
    G -->|Ouverture de fissures<br>Δφ| B

2. Différences clés avec Sulfaco

Fonctionnalité Sulfaco SulfacoESA3d
Solveur mécanique Scalaire (déformation libre) FEM 3D (FEM.h)
Modèle d'endommagement Loi exponentielle empirique \(D = 1 - \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon} e^{-(\varepsilon-\varepsilon_0)/\varepsilon_f}\) Module Damage.h : Mazars ou Marigo-Jirasek
Paramètres mécaniques K_bulk, Biot, Strain0, Strainf young, poisson, Biot + paramètres du modèle de dommage
Inconnues primaires 6 (chimie seule) 6 + dim (chimie + déplacements u_1…u_dim)
Tenseur de sortie Déformation scalaire Tenseur des contraintes (9 composantes), tenseur des déformations (9 composantes), vecteur déplacement
Validation expérimentale / Essais Ferraris (2001) sur cylindres D25mm
Différenciation automatique Non autodiff.h pour la matrice tangente exacte

3. Hypothèses

  1. Isotherme : \(T = 293\,\text{K}\).
  2. Petites déformations : cinématique linéarisée ; le tenseur des déformations est \(\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u} + \nabla^T \mathbf{u})\).
  3. Elasticité endommageable isotrope : avant endommagement, comportement élastique linéaire isotrope (\(E\), \(\nu\)). L'endommagement réduit la rigidité de manière isotrope : \(\mathbf{C}^\text{eff} = (1-D)\,\mathbf{C}^0\).
  4. Couplage via eigenstrain : la pression de cristallisation de l'AFt dans les pores génère une déformation libre (eigenstrain) isotrope \(\varepsilon^\text{ch}\) qui s'ajoute à la déformation élastique.
  5. Saturé : même hypothèse que Sulfaco (pas de phase gazeuse dans les pores).
  6. Quasi-statique : l'inertie dynamique est négligée (\(\partial^2 \mathbf{u}/\partial t^2 = 0\)).
  7. Modèle de dommage au choix : Mazars (paramètres \(A_t\), \(B_t\), \(A_c\), \(B_c\)) ou Marigo-Jirasek (paramètres \(f_t\), \(G_f\), \(l_c\)).

4. Variables et notation

Inconnues primaires (\(6 + \text{dim}\) équations)

Symbole Signification Nom BIL Équation
\(\log c_{\text{SO}_4}\) Log₁₀ concentration sulfate logc_so4 E_Sulfur
\(\psi\) Potentiel électrique (V) psi E_charge
\(z_\text{Ca}\) Quantité normalisée Ca solide z_ca E_Calcium
\(\log c_K\) Log₁₀ concentration potassium logc_k E_Potassium
\(z_\text{Al}\) Quantité normalisée Al solide z_al E_Aluminium
\(\log c_\text{OH}\) Log₁₀ concentration hydroxyle logc_oh E_eneutral
\(\mathbf{u}\) Vecteur déplacement solide (dim composantes) u_1 [, u_2, u_3] E_Mech + i

Variables secondaires principales

Symbole Signification
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tenseur des contraintes totales (9 composantes)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tenseur des déformations totales (9 composantes)
\(D\) Variable scalaire d'endommagement (\(0\) = intact)
\(\kappa\) Variable d'écrouissage (déformation équivalente maximale atteinte)
\(f\) Fonction de charge (critère de dommage)
\(P_c\) Pression de cristallisation de l'AFt (Pa)
\(n_\text{AFt}\), \(n_\text{CH}\), \(n_\text{AFm}\), \(n_\text{C3AH6}\) Teneurs en phases solides (mol/L)
\(\phi\) Porosité instantanée

5. Modèle mathématique

5.1 Équations de conservation chimique

Identiques à Sulfaco : six bilans de conservation pour S, Ca, Al, K, charge et électroneutralité, avec la chimie de solution résolue par HardenedCementChemistry.h et le transport par CementSolutionDiffusion.h. Voir le document Sulfaco pour le détail.

5.2 Équilibre mécanique et couplage chemo-mécanique

SulfacoESA3d résout l'équilibre mécanique quasi-statique via la méthode des éléments finis (FEM.h) :

\[\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{0}\]

Le tenseur des contraintes totales se décompose en une partie élasto-endommageable et une contrainte chimique (eigenstress isotrope) issue de la pression de cristallisation :

\[\boldsymbol{\sigma} = (1-D)\,\mathbf{C}^0 : (\boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\varepsilon}^\text{ch}) = (1-D)\,\mathbf{C}^0 : \boldsymbol{\varepsilon}^e\]

où l'eigenstrain chimique isotrope est reliée à la pression de cristallisation par la loi de Biot :

\[\boldsymbol{\varepsilon}^\text{ch} = \frac{b\,P_c}{3\,K_\text{bulk}} \,\mathbf{I} \qquad \text{(expansion isotrope)}\]

avec \(b\) le coefficient de Biot (\(b = 0.54\) dans le cas test), \(K_\text{bulk} = E / (3(1-2\nu))\) le module de compression isostatique et \(P_c\) la pression de cristallisation de l'AFt (voir §5.4).

Le tenseur de rigidité élastique isotrope vierge est : $\(C^0_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})\)$

avec les coefficients de Lamé \(\lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\) et \(\mu = \frac{E}{2(1+\nu)}\).

5.3 Loi d'endommagement (Marigo-Jirasek ou Mazars)

Le module Damage.h implémente deux modèles d'endommagement isotrope activés selon les paramètres du fichier d'entrée :

Modèle de Marigo-Jirasek (activé par uniaxial_tensile_strength et fracture_energy)

La variable d'écrouissage \(\kappa\) est la déformation équivalente maximale atteinte dans l'histoire du chargement : $\(\kappa = \max_\tau \tilde{\varepsilon}(\tau)\)$

où \(\tilde{\varepsilon} = \sqrt{\langle\varepsilon_1\rangle^2 + \langle\varepsilon_2\rangle^2 + \langle\varepsilon_3\rangle^2}\) est la norme des déformations principales positives (parties en traction).

Le critère de charge est \(f = \tilde{\varepsilon} - \kappa \le 0\). Le seuil initial est : $\(\kappa_0 = \frac{f_t}{E}\)$

La loi d'endommagement exponentielle de Jirasek-Mazars (régularisée par la largeur de bande de fissure \(l_c\)) : $\(D(\kappa) = 1 - \frac{\kappa_0}{\kappa}\left(1 - \alpha + \alpha \exp\!\left(-\beta(\kappa - \kappa_0)\right)\right)\)$

avec \(\beta = \frac{f_t \cdot l_c}{G_f - \frac{1}{2} f_t \kappa_0 l_c}\), \(G_f\) l'énergie de rupture et \(l_c\) la largeur de bande de fissure.

Modèle de Mazars (activé par max_elastic_strain, A_c, A_t, B_c, B_t)

Le modèle de Mazars décompose l'endommagement en traction (\(D_t\)) et compression (\(D_c\)), pondérés par l'état de contrainte : $\(D = \alpha_t D_t + \alpha_c D_c\)$

\[D_t = 1 - \frac{\kappa_0(1-A_t)}{\kappa} - A_t \exp(-B_t(\kappa - \kappa_0))\]
\[D_c = 1 - \frac{\kappa_0(1-A_c)}{\kappa} - A_c \exp(-B_c(\kappa - \kappa_0))\]

5.4 Pression de cristallisation et eigenstrain chimique

La thermodynamique de Kelvin-Thomson donne la pression exercée par un cristal d'AFt sur la paroi d'un pore de rayon \(r\) :

\[P_c = \frac{RT}{V_\text{AFt}} \ln\!\left(\frac{\beta}{\beta_\text{eq}(r)}\right)\]

où \(\beta\) est l'indice de sursaturation de l'AFt en solution et \(\beta_\text{eq}(r) = \exp\!\left(\frac{2\,\Gamma_\text{AFt}\,V_\text{AFt}}{RT\,r}\right)\) l'équilibre de Laplace à l'interface cristal-pore.

La cinétique de croissance dans le pore confiné (rayon \(r\), saturation de cristal \(S_c\)) : $\(\dot{n}_\text{AFt}^\text{pore} = S_c \cdot a_p \cdot |1 - \beta_p/\beta|\)$

où \(\beta_p\) est l'indice de saturation à l'interface cristal-liquide confiné, \(a_p\) la constante cinétique de croissance en pore (A_p).

La pression \(P_c\) est transmise au squelette solide via la porosité \(\phi_c\) occupée par les cristaux en croissance confinée : $\(\text{Eigenstrain volumique : }\quad \varepsilon^\text{ch}_\text{vol} = \frac{b\,\phi_c\,P_c}{K_\text{bulk}}\)$

5.5 Transport ionique (Nernst-Planck)

Identique à Sulfaco :

\[\mathbf{W}_i = -\phi\,\tau(\phi)\left(D_i \nabla c_i + z_i \frac{F D_i}{RT} c_i \nabla\psi\right)\]

La matrice de Fick \(K^\text{Fick}_{ij}\) est maintenant stockée explicitement (KFick, \(\text{NDIF} \times \text{NDIF}\) termes) pour les 5 ions de diffusion principaux (S, Ca, K, Al, Si) ce qui permet une différentiation automatique exacte via autodiff.h.

6. Conditions aux limites et initiales

Chimie

Identiques à Sulfaco : concentrations en sulfate et potassium imposées en surface, pH constant, potentiel électrique de référence nul.

Mécanique

  • Blocage cinématique : u_1 = 0 en une région (ex : face intérieure du cylindre ou fond de l'éprouvette) pour éviter les modes rigides.
  • Surface libre : aucune condition sur u_1 en surface exposée → traction nulle (Neumann mécanique naturel).
  • Aucun chargement externe (Loads = 0) : le seul chargement est l'eigenstrain chimique dû à la cristallisation de l'AFt.

7. Cas tests

7.1 Point matériau homogène (SulfacoESA3d)

Géométrie 0D (1 élément, 1 dm) : même philosophie que base/Sulfaco/Sulfaco. Permet de tracer l'évolution temporelle de toutes les variables chimiques et mécaniques à un point matériau sans gradient spatial. Durée : \(3.03 \times 10^6\,\text{s} \approx 35\,\text{jours}\).

Différence principale vs Sulfaco : les fonctions temporelles prescrivent une montée en concentration beaucoup plus rapide (interpolation linéaire entre \(t=0\) et \(t=86400\,\text{s}\) seulement, au lieu de 5 paliers sur 10 jours), simulant une attaque sulfatique agressive.

Le fichier .gp compare simulation et mesures expérimentales de Ferraris : - Figure 1 : contrainte axiale de compression (MPa) vs temps (jours), calculée à partir de la pression de cristallisation et de la rigidité de la barrière de confinement (k = 9.257e9, \(E = 36\,\text{GPa}\), \(\nu = 0.2\)). - Figure 2 : expansion mesurée (%) pour les deux concentrations : \(1.5\,\text{g/L}\) et \(30\,\text{g/L}\). - Figure 3 : courbe contrainte-déformation axiale pour les deux concentrations.

7.2 Référence Ma30 — Calibrage Sulfaco

Le fichier base/SulfacoESA3d/Ma30 utilise l'ancien modèle Sulfaco (sans mécanique 3D) avec des paramètres légèrement différents :

Paramètre SulfacoESA3d Ma30 (Sulfaco)
porosity 0.23 0.20
N_C3AH6 0.2 mol/L 0.114 mol/L
A_i 8.4e-8 2.3e-8
K_bulk / young 18.06 GPa → 30.1 GPa 20 GPa
Biot 0.54 1.0
Strain0 (Marigo-Jirasek) 6e-4

Ce cas sert de référence de calibration pour les paramètres cinétiques chimiques, indépendamment du modèle de dommage.

7.3 Validation Ferraris D25 (test-ESA-Ferraris-D25_3d/D25)

Ce cas teste la diffusion 1D dans un cylindre de béton (diamètre \(D = 25\,\text{mm}\), modélisé en 1D radial entre \(r=0\) et \(r=0.01\,\text{dm} = 1\,\text{mm}\)) exposé à une solution sulfatée. Il utilise le modèle SulfacoESA3d avec un maillage de 100 éléments, ce qui représente le front de diffusion réel des sulfates entrants.

Spécificités : - Région 1 (surface, \(x=0\)) : conditions de Dirichlet chimiques évolutives (fonctions à 5 paliers sur 10 jours) + u_1 = 0 en région 2 (centre de symétrie). - Région 2 (cœur, \(x=L\)) : conditions initiales uniquement. - Deux points d'observation : surface et cœur. - Durée : \(3.5 \times 10^6\,\text{s} \approx 40\,\text{jours}\).

La validation porte sur les mesures de Ferraris (2001) : expansion longitudinale d'éprouvettes de pâte de ciment (D25mm) immergées dans des solutions de \(\text{Na}_2\text{SO}_4\) à différentes concentrations.

SulfacoESA3d - Résultats de la simulation

8. Paramétrage matériel du modèle

Paramètres communs avec Sulfaco

Paramètre Valeur (SulfacoESA3d) Rôle
porosity 0.23 Porosité initiale
N_CH 1.53 mol/L Portlandite initiale
N_CSH 1.393 mol/L C-S-H initial
N_C3AH6 0.2 mol/L Hydrogrenat précurseur
R_AFm, R_C3AH6 1e-6 mol/L/s Taux cinétiques
R_CSH2 1e-12 mol/L/s Gypse (très lent)
A_i, A_p 8.4e-8, 4.4e-9 Cinétiques AFt interface/pore
Biot 0.54 Couplage pression-déformation

Paramètres mécaniques propres à SulfacoESA3d

Paramètre Valeur Rôle physique
young 18.06 GPa Module d'Young du béton sain (\(E\))
poisson 0.2 Coefficient de Poisson (\(\nu\)) → \(K_\text{bulk} = E/(3(1-2\nu)) = 30.1\,\text{GPa}\)
uniaxial_tensile_strength 22.77 MPa Résistance à la traction \(f_t = E\kappa_0\) (\(\kappa_0 = 4\times10^{-4}\))
fracture_energy 21.6 kJ/m² Énergie de rupture \(G_f\) (Marigo-Jirasek)
crack_band_width 1 dm Largeur de bande de fissure \(l_c\) (régularisation)

Note : le paramètre young = 18.06e9 avec poisson = 0.2 donne \(K_\text{bulk} = 18.06/(3 \times 0.6) = 10.03\,\text{GPa}\). Le commentaire # K = 30.1e9 dans le fichier suggère que la valeur de young a été ajustée pour obtenir ce module de compression en convention BIL.

Modèle de dommage de Marigo-Jirasek

Paramètre Expression Signification
\(\kappa_0 = f_t/E\) \(22.77 \times 10^6 / 18.06 \times 10^9 = 1.26 \times 10^{-3}\) Déformation élastique limite
\(\beta = f_t l_c / (G_f - \frac{1}{2}f_t\kappa_0 l_c)\) \(\approx 1054\) Pente post-pic d'adoucissement
\(D(\kappa)\) \(1 - \frac{\kappa_0}{\kappa}(1-\alpha+\alpha e^{-\beta(\kappa-\kappa_0)})\) Loi d'évolution de l'endommagement

9. Description pas-à-pas des fichiers d'entrée

9.1 Système d'unités et géométrie

Identiques à Sulfaco : longueur en décimètre, temps en secondes, masse en hectogramme. Domaine 1D plan, 1 élément de 1 dm.

9.2 Matériau (Material) — nouveau bloc mécanique

young = 18.06e9                      # K = 30.1e9
poisson = 0.2
Biot = 0.54
uniaxial_tensile_strength = 22.7684e6    # ft = E*kappa_0  kappa_0 = 4.e-4
fracture_energy = 21.6e3
crack_band_width = 1

Ces six lignes activent le modèle de dommage de Marigo-Jirasek (via la fonction pm qui reconnaît uniaxial_tensile_strength → SetDamageModel(2)). Les paramètres remplacent les Strain0/Strainf de Sulfaco par une formulation énergétique plus rigoureuse.

Les lignes commentées montrent l'alternative via Strain0/Strainf (ancienne formulation du module de dommage simplifié) :

#Strain0 = 6.e-4
#Strainf = 3.9e-3

9.3 Fonctions temporelles (Functions)

Functions
5
N = 2 F(0) = -6        F(86400) = -0.678
N = 2 F(0) = -5.7      F(86400) = -0.377
N = 2 F(0) = -7.32     F(86400) = -6.32
N = 2 F(0) = 1         F(86400) = 1
N = 2 F(0) = -1.57     F(86400) = -1.57    # pH(10) = -4; pH(11) = -3; pH(12) = -2

Différence majeure par rapport à Sulfaco : seulement 2 points par fonction (interpolation linéaire directe sur 1 jour), et le pH est fixé à \(10^{-1.57} \approx 0.027\,\text{mol/L}\), soit pH 13.57 (plus basique que dans Sulfaco). La montée en concentration est plus brutale :

Variable \(t=0\) \(t=86400\,\text{s}\) (\(= 1\) jour)
\(\log c_{\text{SO}_4}\) \(-6\) \(-0.678\) → \(c_{\text{SO}_4} = 0.21\,\text{mol/L} \approx 20\,\text{g/L}\)
\(\log c_K\) \(-5.7\) \(-0.377\) → \(c_K = 0.42\,\text{mol/L}\)
\(\log c_\text{OH}\) \(-1.57\) \(-1.57\) → pH constant \(\approx 12.4\)

9.4 Conditions aux limites (Boundary Conditions)

Boundary Conditions
5
Region = 1 Unknown = u_1        Field = 0 Function = 0
Region = 1 Unknown = logc_so4   Field = 1 Function = 1
Region = 1 Unknown = psi        Field = 0 Function = 0
Region = 1 Unknown = logc_k     Field = 1 Function = 2
Region = 1 Unknown = logc_oh    Field = 1 Function = 5

Nouveauté : la ligne u_1 = 0 en région 1 bloque mécaniquement la surface exposée (\(x = 0\)). Cela simule un confinement latéral : l'expansion chimique due à l'AFt ne peut pas se librement dilater vers l'extérieur, ce qui génère des contraintes de compression dans le matériau. Cette hypothèse est représentative d'une éprouvette coulée dans un moule rigide ou d'une partie d'ouvrage confinée.

Comparaison avec D25 : dans le cas Ferraris D25, c'est l'inverse — u_1 = 0 est imposé en région 2 (cœur), permettant à la surface de se dilater librement. C'est la configuration d'expansion libre.

9.5 Variations objectives et pas de temps

Objective Variations
u_1          = 1.e-4    ← contrôle adaptatif sur le déplacement (4 chiffres sig.)
logc_so4     = 1.e-3
z_ca         = 1.e-3
psi          = 1.e-1
logc_k       = 1.e-1
z_al         = 1.e-1
logc_oh      = 1.e-1
p_c          = 1.e5     ← contrôle adaptatif sur la pression de cristallisation (Pa)

Time Steps
Dtini = 1               ← démarrage très petit (1 s) car la chimie initiale est raide
Dtmax = 1.e4            ← maximum 2.8 heures par pas

Le pas de temps initial de 1 seconde (contre 1000 s dans Sulfaco) est nécessaire car la montée en concentration est beaucoup plus rapide (1 jour contre 10 jours) et le modèle de dommage crée une non-linéarité forte. L'ajout de p_c = 1e5 dans les variations objectives contrôle le pas de temps en fonction de l'évolution de la pression de cristallisation.

9.6 Interprétation des colonnes de sortie (.p1)

Le fichier .gp documente 93 colonnes de sortie. Les colonnes clés propres à SulfacoESA3d (absentes dans Sulfaco) sont :

Colonne Variable Signification
70–78 Strain tensor Composantes \(\varepsilon_{11}, \varepsilon_{12}, …, \varepsilon_{33}\)
79–87 Stress tensor Composantes \(\sigma_{11}, \sigma_{12}, …, \sigma_{33}\) (Pa)
88–90 Displacement vector \(u_1, u_2, u_3\) (dm)
91 Damage Variable scalaire \(D \in [0,1]\)
92 Hardening variable Variable d'écrouissage \(\kappa\)
93 Yield function Critère de charge \(f = \tilde{\varepsilon} - \kappa\)

Le fichier .gp calcule la contrainte axiale via : 

coef = (1-2*nu)/(1 + E/k)        # Facteur de confinement
plot file2 us ($1/86400):(coef*$65*$68*MPa)   # S_c * P_c * coef
     file2 us ($1/86400):(-coef*$78*MPa)       # -sigma_11 * coef

où \(\sigma_{11}\) (colonne 78) est la contrainte axiale directement calculée par FEM.

10. Références bibliographiques

  • Ferraris, C. F., Stutzman, P. E., & Snyder, K. A. (2006). Sulfate resistance of concrete: a new approach. Portland Cement Association. — Expériences sur cylindres D25mm (pâte de ciment, exposition sulfatique à 1.5 et 30 g/L) qui servent de cas de validation pour test-ESA-Ferraris-D25_3d.

  • Marigo, J.-J. (1981). Formulation d'une loi d'endommagement d'un matériau élastique. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. — Fondation de la mécanique de l'endommagement utilisée dans Damage.h (modèle 2 : Marigo-Jirasek).

  • Jirasek, M. & Bazant, Z. P. (2002). Inelastic Analysis of Structures. John Wiley & Sons. — Formulation régularisée du modèle de Marigo par la largeur de bande de fissure \(l_c\) (crack_band_width), évitant la dépendance au maillage.

  • Mazars, J. (1986). A description of micro- and macroscale damage of concrete structures. Engineering Fracture Mechanics, 25(5-6), 729–737. — Modèle d'endommagement bimodal traction/compression (paramètres \(A_t\), \(B_t\), \(A_c\), \(B_c\)), disponible comme alternative dans Damage.h.

  • Coussy, O. (2004). Poromechanics. John Wiley & Sons. — Base théorique du couplage pression de cristallisation / eigenstrain / déformation macroscopique via le coefficient de Biot.

  • Flatt, R. J. & Scherer, G. W. (2008). Thermodynamics of crystallization stresses in DEF. Cement and Concrete Research, 38(3), 325–336. — Thermodynamique de Kelvin-Thomson appliquée à la pression de cristallisation de l'AFt en pore confiné.

  • Biot, M. A. (1941). General theory of three-dimensional consolidation. Journal of applied physics, 12(2), 155–164. — Fondation du couplage pression interstitielle / déformation (coefficient de Biot \(b = 0.54\)).

  • Bazant, Z. P. & Najjar, L. J. (1972). Nonlinear water diffusion in nonsaturated concrete. Matériaux et Construction, 5(25), 3–20. — Tortuosité \(\tau(\phi)\) utilisée pour le transport ionique.