Modèle MechaMic — FEM² Multiscale Mechanics (2017)

Fichiers sources : src/Models/ModelFiles/MechaMic.cpp · test_examples/MechaMic/MechaMic

Auteur du modèle Bil : P. Dangla (Université Gustave Eiffel)

Table des matières

Contexte et objectif
Hypothèses et Échelles
Variables et Équations de base
Implémentation du couplage FEM²
Discrétisation et Résolution algorithmique
Cas test : Plaque sous chargement cyclique (test_examples/MechaMic)
Résultats et Comportement matériel

1. Contexte et objectif

Le modèle MechaMic (Mechanics from a microstructure) constitue l'implémentation du cadre d'homogénéisation numérique dite FEM². Plutôt que d'employer une loi de comportement analytique macroscopique (élasticité, plasticité, etc.), le modèle délègue le calcul de la réponse contrainte-déformation matérielle à la résolution, à la volée et en chaque point d'intégration (point de Gauss), d'un Problème aux Limites (BVP) sur un Volume Élémentaire Représentatif (VER).

L'objectif est d'étudier ou de modéliser des comportements non linéaires complexes induits par de l'hétérogénéité sous-jacente sans formuler de lois constitutives phénoménologiques closes.

2. Hypothèses et Échelles

Le paradigme de ce modèle s'articule autour de deux échelles en couplage bidirectionnel :

L'échelle Macroscopique : Gère l'équilibre global de la structure sous chargement macroscopique, par éléments finis (ici modélisé par MechaMic.cpp).
L'échelle Microscopique (VER) : Chaque point de Gauss macroscopique détient une copie d'un maillage micro. La géométrie de ce VER est spécifiée dans le jeu de données par l'appel à une méthode Microstructure [nom_fichier_VER].

Hypothèse d'homogénéisation : La déformation macroscopique \(\mathbf{E}\) (calculée par la B-matrice sur le macro-maillage) sert de conditions aux limites (souvent périodiques) ou de charge au maillage microstructurel. La macro-contrainte \(\mathbf{\Sigma}\) est alors la moyenne volumique des micro-contraintes du VER en équilibre.

3. Variables et Équations de base

Variables et Inconnues Nodales (Macro)

Pour un problème de dimension dim (2D ou 3D), le nombre d'inconnues et d'équations est égal à dim :

Symbole Macroscopique	Signification
`u_1, u_2, u_3`	Déplacements matériels de la structure dans les directions X, Y, Z

Conservation de la quantité de mouvement (Équilibre)

Le code résout l'équation classique de l'équilibre mécanique statique aux nœuds macroscopiques :

\[ \nabla \cdot \mathbf{\Sigma} + \rho_s \mathbf{g} = 0 \]

En formulation faible (principe des travaux virtuels implicite traitée dans ComputeResidu), cela équivaut à :

\[ \int_\Omega \mathbf{\Sigma}(\mathbf{E}) : \delta\mathbf{E} \, d\Omega = \int_\Omega (\rho_s \mathbf{g}) \cdot \delta\mathbf{u} \, d\Omega + \int_{\partial\Omega} \mathbf{F}_{ext} \cdot \delta\mathbf{u} \, dS \]

Où \(\mathbf{\Sigma}(\mathbf{E})\) est extraite numériquement depuis le solveur de microstructure.

4. Implémentation du couplage FEM²

L'intégration locale (MPM_t::Integrate et MPM_t::SetTangentMatrix dans Bil) fait preuve du passage de la macro vers la micro :

Extraction de déformation (SetInputs) : Les déplacements val.Displacement nodaux de l'élément Macro fournissent la déformation locale \(\mathbf{E}\) (soit val.Strain), en tenant compte des potentiels gradients macroscopiques prescrits (MacroStrain).

Homogénéisation de restriction élastoplastique (Integrate) :

// Le gradient d'incrément de déformation Macro
for(i = 0 ; i < 9 ; i++) deps[i] =  eps[i] - eps_n[i] ;

// Démarrage du dataset Microstructure
FEM2_t* fem2 = FEM2_GetInstance(dataset,solvers,sols_n+p,sols+p);
FEM2_ComputeHomogenizedStressTensor(fem2,t,dt,deps,sig);

L'incrément de déformation \(\Delta\mathbf{E}\) est passé en argument à FEM2_ComputeHomogenizedStressTensor qui résout le problème interne du VER et renvoie la nouvelle contrainte macro \(\mathbf{\Sigma}\) (soit sig).

Calcul de la Matrice Tangente Macroscopique (SetTangentMatrix) : Le tenseur de rigidité tangent \(C_{ijkl} = \frac{\partial \Sigma_{ij}}{\partial E_{kl}}\) macroscopique est tout aussi numériquement homogénéisé, en appelant le VER sur un état perturbé :
```
FEM2_HomogenizeTangentStiffnessTensor(fem2,t,dt,c0);
```
Ces coefficients remplissent la matrice de rigidité tangente macroscopique pour le processus de Newton-Raphson de l'élément macro.

5. Discrétisation et Résolution algorithmique

L'utilisation de FEM2 alourdit considérablement le temps de calcul puisqu'un maillage entier est résolu à chaque point d'intégration macroscopique pour chaque itération de Newton-Raphson. La communication hiérarchique stockée sur le heap garantit que :

L'histoire des variables internes (comme les déformations plastiques) du domaine VER est correctement sauvegardée localement (dans Element_GetCurrentLocalSolutions) de passe en passe pour chaque point de gauss macroscopique.
Si le chargement Macro nécessite un coupage de pas de temps (Dtmax/Dtini/Tol), la structure Micro revient formellement à l'ancien état implicite sans décalage.

6. Cas test : Plaque sous chargement cyclique (`test_examples/MechaMic`)

Le cas modèle se compose d'un maillage très simple d'un seul élément fini Q4 représentant la macro-structure soumise à une contrainte de traction-compression axiale.

Spécificités du Jeu de données

Material
Model  = MechaMic
Method = Microstructure plasticell0

- Demande explicite à allouer une cellule microstructurelle à géométrie/comportement défini(e) dans le fichier implicite de la bibliothèque Bil plasticell0. Ce VER plasticell0 contient typiquement des zones de plasticité (par exemple, une inclusion élastique avec une matrice plastique de type Von-Mises ou Mohr Coulomb).

Conditions de chargement (test_examples/MechaMic/MechaMic) : - Base Reg 13 et paroi M gauche Reg 10 bloquées perpendiculairement (symétrie plan). - Sollicitation en surface (Reg 11 et Reg 12) par charge (Loads). La contrainte appliquée utilise un module à Fonction Temporelle : N = 3 F(0) = 0 F(5) = 1 F(10) = 0 (Cycle de chargement plein en \(t=5\) s puis retour à \(0\) en \(t=10\) s). - L'amplitude de la limite motrice est fixée à 16.e6 Pa (16 MPa).

7. Résultats et Comportement matériel

L'exécution débouche sur les sorties en point d'histoire aux limites élasto-plastiques. Grâce aux échelles entremêlées, la réponse n'est pas linéaire bien que MechaMic ne déclare strictement aucun modèle plastique interne.

En appliquant un balayage macro de charge-décharge (via plot_mechamic.py), nous reproduisons le module d'écrouissage de la microstructure :

MechaMic Results

Analyse : 1. Régime Élastique Initial : Proportionnalité stricte jusqu'à environ 3 MPa. 2. Écoulement Plastique Adouci / Écrouissage : La non-linéarité apparaît. La dégradation macro provient de la limite d'élasticité franchie localement par divers sous-éléments à l'intérieur du VER plasticell0. Le module tangent (cadré par SetTangentMatrix) s'infléchit doucement. 3. Décharge : Au moment du pic (t = 5s), les contraintes élastiques du VER entrainent une décharge macroscopique parallèle au module élastique brut initial. 4. Déformation Permanente (Résiduelle) : À la fin de la charge macro nulle (t = 10s), environ \(0.1\%\) de déformation macroscopique résiduelle permanente est enregistrée en \(\epsilon_{yy}\). L'hétérogénéité spatiale micro et la redistribution des contraintes résiduelles provoquent ce comportement élasto-plastique macroscopique émergent absolu.